Bổ đề Cơ bản
Vì sao “Bổ đề Cơ bản”?
. . . Cũng may, với từng người đoạt Huy chương Fields, Ban tổ chức Hội nghị toán học thế giới 2010 đều có hai tài liệu giới thiệu, một là bản tuyên dương chính thức, dành cho giới chuyên môn và một bản giới thiệu công trình dành cho công chúng rộng rãi hơn. Người viết bản giới thiệu công trình là nhà báo nữ Julie Rehmeyer, phụ trách chuyên mục Toán cho bán nguyệt san Science News.
Bài viết của bà Rehmeyer chỉ dài hai trang nhưng giúp người đọc hiểu được tầm mức công trình của GS Châu. Nếu tóm tắt hai trang này, lượt bỏ hết những khái niệm chuyên môn, chúng ta sẽ có một bức tranh như sau:
Năm 1967, nhà toán học Robert Langlands đưa ra một loạt các giả thuyết táo bạo mà đa số cho đến nay vẫn chưa được chứng minh và sẽ là đề tài nghiên cứu cho nhiều thế hệ các nhà toán học trong tương lai. Tuy nhiên các giả thuyết này, được xây dựng thành một chương trình đầy tham vọng, nếu được chứng minh sẽ thống nhất nhiều lãnh vực toán học hiện đại lại thành một thể thống nhất, ví dụ giữa hình học, đại số và số học.
Một trong những công cụ được phát triển từ chương trình Langlands là “công thức vết Arthur-Selberg”, một phương trình cho thấy có thể dùng thông tin hình học để tính toán thông tin số học. Nhưng Langlands gặp một trở ngại lớn khi sử dụng công thức này, vì cứ xuất hiện những tổng số phức tạp. Theo Langlands các tổng số này bằng nhau nhưng ông không thể nào chứng minh được điều đó. Ông xem đây là một bài toán đơn giản nên gọi nó là “bổ đề” (lemma – một kết quả phụ được dùng để chứng minh những kết quả quan trọng hơn) và giao cho một nghiên cứu sinh giải quyết. Thế nhưng không một nghiên cứu sinh nào chứng minh được nó nên Langlands tự mình, rồi nhờ các nhà toán học khác vào cuộc. Đến khi không ai chứng minh được nó, người ta mới gọi nó bằng cái tên quan trọng hơn: “Bổ đề Cơ bản”.
Trong hơn ba mươi năm, vì không ai chứng minh được Bổ đề Cơ bản nên nhiều nhà toán học cứ giả định là nó đúng và xây dựng những công trình dựa trên giả định này. Giả thử nó sai, hàng loạt lý thuyết toán học mà nhiều người dày công xây dựng sẽ sụp đổ.
Cuối cùng, Ngô Bảo Châu là người chứng minh được nó bằng một cách tiếp cận hoàn toàn bất ngờ và mới mẻ. Và khi đưa ra cách tiếp cận này, ông đã giúp mọi người nhìn lại Bổ đề Cơ bản với cách hiểu hoàn toàn mới. Chính nhờ đó, năm 2004, cùng với người thầy của mình là GS Gerard Laumon, ông chứng minh những trường hợp đặt biệt của Bổ đề Cơ bản, và năm 2008 đã giải quyết được toàn bộ bài toán trong trường hợp tổng quát. Phương pháp của ông được kỳ vọng sẽ là công cụ giúp giải quyết những bài toán khác trong chương trình Langlands, thậm chí toàn bộ các giả thuyết làm nên tầm nhìn của Langlands vì cho dù ai làm được việc này cũng sẽ phải dựa vào những ý tưởng Ngô Bảo Châu đưa ra.
Như vậy, thiết tưởng phải đánh giá công trình của GS Ngô Bảo Châu như một bước tiến lớn của ngành toán thế giới chứ không phải của riêng nước nào. Ngoài lãnh vực chuyên ngành của ông, cũng như những nhân vật từng đoạt giải lớn như Nobel, những ý kiến của ông sau này trong nhiều lãnh vực khác, đặc biệt trong giáo dục, khoa học, sẽ mang theo nó một trọng lượng uy tín đáng kể. Đó là kỳ vọng của chúng ta về đóng góp của ông trong tương lai cho nhiều vấn đề của Việt Nam cần có ý kiến của những người như GS Ngô Bảo Châu.
Theo Nguyễn Vạn Phú
Bài viết của bà Rehmeyer chỉ dài hai trang nhưng giúp người đọc hiểu được tầm mức công trình của GS Châu. Nếu tóm tắt hai trang này, lượt bỏ hết những khái niệm chuyên môn, chúng ta sẽ có một bức tranh như sau:
Năm 1967, nhà toán học Robert Langlands đưa ra một loạt các giả thuyết táo bạo mà đa số cho đến nay vẫn chưa được chứng minh và sẽ là đề tài nghiên cứu cho nhiều thế hệ các nhà toán học trong tương lai. Tuy nhiên các giả thuyết này, được xây dựng thành một chương trình đầy tham vọng, nếu được chứng minh sẽ thống nhất nhiều lãnh vực toán học hiện đại lại thành một thể thống nhất, ví dụ giữa hình học, đại số và số học.
Một trong những công cụ được phát triển từ chương trình Langlands là “công thức vết Arthur-Selberg”, một phương trình cho thấy có thể dùng thông tin hình học để tính toán thông tin số học. Nhưng Langlands gặp một trở ngại lớn khi sử dụng công thức này, vì cứ xuất hiện những tổng số phức tạp. Theo Langlands các tổng số này bằng nhau nhưng ông không thể nào chứng minh được điều đó. Ông xem đây là một bài toán đơn giản nên gọi nó là “bổ đề” (lemma – một kết quả phụ được dùng để chứng minh những kết quả quan trọng hơn) và giao cho một nghiên cứu sinh giải quyết. Thế nhưng không một nghiên cứu sinh nào chứng minh được nó nên Langlands tự mình, rồi nhờ các nhà toán học khác vào cuộc. Đến khi không ai chứng minh được nó, người ta mới gọi nó bằng cái tên quan trọng hơn: “Bổ đề Cơ bản”.
Trong hơn ba mươi năm, vì không ai chứng minh được Bổ đề Cơ bản nên nhiều nhà toán học cứ giả định là nó đúng và xây dựng những công trình dựa trên giả định này. Giả thử nó sai, hàng loạt lý thuyết toán học mà nhiều người dày công xây dựng sẽ sụp đổ.
Cuối cùng, Ngô Bảo Châu là người chứng minh được nó bằng một cách tiếp cận hoàn toàn bất ngờ và mới mẻ. Và khi đưa ra cách tiếp cận này, ông đã giúp mọi người nhìn lại Bổ đề Cơ bản với cách hiểu hoàn toàn mới. Chính nhờ đó, năm 2004, cùng với người thầy của mình là GS Gerard Laumon, ông chứng minh những trường hợp đặt biệt của Bổ đề Cơ bản, và năm 2008 đã giải quyết được toàn bộ bài toán trong trường hợp tổng quát. Phương pháp của ông được kỳ vọng sẽ là công cụ giúp giải quyết những bài toán khác trong chương trình Langlands, thậm chí toàn bộ các giả thuyết làm nên tầm nhìn của Langlands vì cho dù ai làm được việc này cũng sẽ phải dựa vào những ý tưởng Ngô Bảo Châu đưa ra.
Như vậy, thiết tưởng phải đánh giá công trình của GS Ngô Bảo Châu như một bước tiến lớn của ngành toán thế giới chứ không phải của riêng nước nào. Ngoài lãnh vực chuyên ngành của ông, cũng như những nhân vật từng đoạt giải lớn như Nobel, những ý kiến của ông sau này trong nhiều lãnh vực khác, đặc biệt trong giáo dục, khoa học, sẽ mang theo nó một trọng lượng uy tín đáng kể. Đó là kỳ vọng của chúng ta về đóng góp của ông trong tương lai cho nhiều vấn đề của Việt Nam cần có ý kiến của những người như GS Ngô Bảo Châu.
Theo Nguyễn Vạn Phú
